Bienvenidos

La función cuadrática:

una introducción a sus alcances y aplicaciones

 (Hipertexto adaptado con modificaciones e inclusión de objetivos)

Se sabe que una función cuadrática posee como forma explícita la siguiente expresión:

y = ax² + bx + c

Dicha expresión puede ser vista como una expresión funcional de una situación particular relacionada con las ecuaciones de tipo cuadrático, las cuales resuelven muchas situaciones prácticas en campos relacionados con la física, la ingeniería y el diseño (dado principalmente por su característica gráfica en cuanto a comportamiento parabólico) de las que solo haremos referencias a algunos pocas. Respecto a esta cuestión, hay situaciones de aplicación en que requiere tener dominio de la gráfica funcional que se resume a establecer los valores "a", "b" y "c" de la expresión y cuestiones relacionadas con el dominio y la concavidad. 

Así, el comportamiento cuadrático aparece en varias situaciones y considero resulta sumamente valioso presentarlas e introducirse en ellas, tanto como fin motivador como así también para afianzar conocimientos trabajados en la abstracción que suelen resultar muchas veces tediosas e incomprensibles.

Para tal fin es necesario repasar y tener en claro los siguientes conocimientos previos:

- Manejo y resolución de ecuaciones cuadráticas

- Concepto y manejo de la función como herramienta

- Lectura y reconocimiento de los elementos notables de la función cuadrática

- Gráfica completa de una función cuadrática

Podemos facilitarte una pequeña ayuda, y proponerte una actividad puntal para que realices de cara a seguir avanzando.

Con dicho curso, pretendemos abordar los siguientes objetivos

- Advertir situaciones de aplicacíón de la función cuadrática

- Tener una visión más amplia en cuanto a reconocer los movimientos físicos 

- Lograr una introducción en los campos de modelización y optimización.

- Adquirir algunos conceptos económicos como ingreso, costo y ganancia.

- Abordar y resolver situaciones sencillas relacionadas con la Física y la Economía en donde intervengan funciones cuadráticas

Temario:

- Mapa conceptual

- La optimización: los máximos y los mínimos

- Aplicación en Física: tiro parabólico

- Aplicación en Economía: una introducción

Te deseamos buen comienzo. Agradezco a los colegas que han pasado por aquí, y no olvidar...

Mapa conceptual

A fin de ordenar y mostrar las relaciones de los temas que abordaremos respecto a las aplicaciones, ofrecemos a continuación el siguiente mapa conceptual

La optimización, no está necesariamente vinculado a las cuestiones económicas, como aquí se indica, ni tampoco a la función de comportamiento cuadrático sino que es aplicable a funciones en general. Sin embargo, abarca un sinnúmero de situaciones económicas en donde aparece la necesidad de hallar, por ejemplo, el mínimo costo o un máximo ingreso. Dichos procedimientos, que exceden el objetivo de este curso pero que abordarás seguramente en tu último año de cursada, conjugan fuertemente la modelización y la optimización conjuntamente con otras herramientas como las derivadas y sistemas de ecuaciones particulares como la programación lineal.

Ayudando a repasar

¿Complicado en el repaso de los saberes previos? Debido a la dinámica de los tiempos, te facilitamos un video que te ayudara en tu repaso.

Repaso final sobre función cuadrática

A continuación, te proponemos realizar una tabla indicando los datos del análisis completo de la función cuadrática f(x) = -6 + x² - 4x según lo repasado y visto anteriormente.

Esta actividad es optativa para quienes consideran tienen dificultad en este tema de repaso, y puedes resolverlo junto a otros compañeros mediante la utilización de un documento en Google Drive y ser enviada para su revisión y corrección acorde a la fecha límite estipulada.

La optimización: los máximos y los mínimos

Una de las aplicaciones útiles que involucra el planteamiento de funciones y en particular de ecuaciones cuadráticas es el tema de determinar máximos y mínimos en el marco de la aplicación de la optimización matemática Este tipo de planteos se realizan respecto a diversos tipos de funciones (por ejemplo, la lineal que ha sido trabajada en cursos anteriores) de la cuales se encuentran las funciones cuadráticas teniendo un alcance limitado debido a que para dar tratamiento a otro tipo de funciones, se requieren otras herramientas más avanzadas.
La optimización se combina y complementa con la modelización matemática para dar respuesta a una gran cantidad de situaciones que se presentan a diario. Ya hicimos referencia a estos elementos y cómo pueden trabajar juntos en la resolución de aspectos de la Economía.
El siguiente video te mostrará el planteo de una situación en donde se busca una optimización de los recursos, así como también indicaciones generales o pasos a seguir que funcionan a modo de receta en el abordaje de situaciones de este estilo. Las mismas, a su vez, te servirán de guía en las actividades que te propondremos más adelante.

Te proponemos, que con tus palabras y sin volver a ver el video, pases en limpio los procedimientos a seguir y las cuestiones generales a tener en cuenta a la hora de abordar una situación de optimización.
Realizada tu producción, compártela mediante comentarios en esta sección del blog.

Situación problemática II

En el siguiente video, gentileza del profesor Alexz, tendrás oportunidad de ver la resolución de una situación de optimización en donde usa fuertemente las herramientas de la función cuadrática

Trabajo Práctico: optimización

Con lo aprendido, deberás resolver  de manera grupal, sin exceder el límite de tres integrantes, las siguientes actividades

Sube tu producción a tu cuenta Google Drive para su corrección juntamente con los nombres de los integrantes que componen el grupo.

Aplicación en Física: Tiro parabólico

Una aplicación concreta en el ámbito de la Física nos lo da una situación de tiro parabólico. Como se trata de un abordaje matemático de con intención motivacional, nos abocaremos a situaciones ilustrativa sencillas dejando de lado las típicas fórmulas cinemáticas que se tratan en la Física.
En el marco de los dibujos animados ochentosos, te proponemos mirar el siguiente video y luego abordar los items propuestos

a) Lista y describe con palabras los movimientos que observas

b) ¿En cuántos y cuáles de ellos aparece una parábola?

c) Investiga si existen diferencias entre un "tiro parabólico" y un "tiro parabólico oblicuo", en cuanto a que si resulta algo redundante o aporta especificación.

Comparte tus respuestas a través de comentarios en el blog.

Como habrás observado, el lanzamiento de un objeto describe naturalmente una trayectoria que tiene forma de parábola. Por esa razón, se encuentran muchos ejemplos relacionados al deporte.

Omitiendo la explicación técnica con abundantes conceptos físicos, resulta interesante hacer un recorrido por algunos deportes que ejemplifican esta cuestión.

A continuación, te proponemos:

a) Listar otros 3 deportes que no hayan sido referenciados en el video.

b) Piensa la situación funcionalmente y determina cuales serían las variables independientes y dependientes que están en juego.

Comparte tus respuestas a través de comentarios en el blog.

Ejercicio sobre tiro parabólico

Teniendo presente la función cuadrática, te proponemos aplicar lo aprendido en el siguiente ejercicio

La trayectoria de un proyectil viene dada por una expresión que representa su altura en función de su distancia de alcance, la cual es f(x) = - X² + 5X. Calcular:

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?

b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?

c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?

Inspirándote en la producción del ejemplo en Situación problemática II, se pide desarrollar un video sencillo explicando la resolución que has realizado. Súbelo a alguna plataforma como Youtube, tu blog u otra que te resulte conveniente y publica su dirección aquí en comentarios para ser evaluado. La dirección tiene tiempo de ser publicada hasta el último día de este mes inclusive.

Ejercicios resueltos sobre tiro parabólico

El siguiente es un documento con ejercicios resueltos correspondientes a actividades algo avanzadas, que incorporan en algunos casos ángulos y referencias fuertes a las fórmulas que se usan en física, que utilizan herramientas como la trigonometría que exceden los alcances de este curso.

(Tiro parabólico ejercicios para entregar solución from mariavarey)

Finalmente, me parece interesante sugerirles una páginas en Laboratorio de Movimientos, que no solo sigue dando cuenta de su ambientación Física, sino que también ofrece el uso de un software que simula una situación de lanzamiento y que puede servir para plantear de manera dinámica los anteriores ejercicios.

Confección casera de un disparador

Este interesante video muestra cómo de manera sencilla, puede realizar un artefacto para simular un tiro parabólico y realizar algunas mediciones.

Piensa qué otros utensillos podrías emplear para confeccionar un dispositivo que cumpla la misma función, siempre en el marco de monitorear el tema de la seguridad, y comparte tu propuesta mediante comentarios en el blog.

Aplicación en Economía: una introducción

Te proponemos realizar la búsqueda de los siguientes conceptos:

- Costo
- Ingreso
- Ganancia

Son tres conceptos principales, pero podrías encontrarte con algún otro que consideres importante.
Te proponemos crear una Wiki con tus compañeros a fin de compartir los resultados de dichas búsquedas. La misma debe ser realizada mediante algún sitio de wiki, como Wikispaces, Wetpaint, u otro, e indicar su dirección en este blog para su corrección al terminar el curso.

A continuación, te proponemos la siguiente actividad que ponen en juego algo de los conceptos anteriores:

Se sabe que los ingresos de un empresario de máquinas electromecánicas vienen dados por la función:

donde "x" representa la cantidad de máquinas que se fabrican mensualmente. Se pide:

a ) Realizar un gráfico de la situación
b) ¿Cuántas máquinas deben fabricarse mensualmente para obtener el mayor ingreso?
c) ¿Cuánto es el ingreso si se fabrican 5 máquinas?
d) Si se sabe que el ingreso fue de 1000 pesos, ¿cuántas se fabricaron?


Finalmente, te proponemos, la siguiente situación problemática:

En una línea de autobuses para turistas se cobra $20 por persona al viajar en un tour hacia el Volcán Arenal, este es para 30 personas. Sin embargo se cobra $0.5 menos por cada turista adicional a las 30.¿Cuál es la cantidad de turistas adicionales, para maximizar los ingresos? Rta: se requieren 35 turistas adicionales para maximizar los ingresos.

Estas actividades deben ser subidas a algún sitio, sea si tienes una cuenta en slideshare o bien a tu cuenta de Google Drive, para su corrección. La actividad puede ser resuelta grupalmente, a l oque se requiere indicar los integrantes que conforman el grupo.

Ejercicio resuelto: cálculo de ingresos para un nivel de producción dado

A continuación un ejercicio resuelto que involucra una función cuadrática en una situación de aplicación económica tipo.

Puedes inspirarte en este ejemplo resuelto para chequear tus resoluciones de la actividad anterior. Como se observa, muchas de las situaciones económicas suponen situaciones de optimización.

Para seguir profundizando en las cuestiones económicas

A un nivel un poco más avanzado, puede sin embargo resultar complementario leer el siguiente artículo que cumple igualmente la función de vincular conceptos avanzados con otros más simples referenciados anteriormente.

Si hay inquietudes, dudas o consultas respecto a la lectura y compresión de dicho documento, puedes hacer las consultas necesarias aquí en el blog y serán respondidas a la brevedad. Es importante también, llegado ya a esta etapa final de nuestro curso, realizar consulta sobre el recorrido que hemos realizado en el marco de la función cuadrática y sus aplicaciones. Los espero.